Trọng tâm trong tam giác thường, vuông, cân, đều – Tính chất

Trọng tâm trong tam giác thường, vuông, cân, đều là gì? Bạn đang muốn tìm hiểu về dạng toán này? Trong bài viết sau đây chúng tôi sẽ giúp bạn giải đáp những thắc mắc về dạng toán trọng tâm trong tam giác này.

Xem ngay:

• Công thức tính diện tích hình thoi
• Tiếp tuyến là gì?
• Công thức tính diện tích mặt cầu

Trọng tâm là gì?

– Một tam giác có 3 đường trung tuyến, đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

– Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Tính chất của trạng tâm trong tam giác

– Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

– Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:

• GA = 2 AM
• GC = 2 GP
• BG = 2 GN

Trọng tâm của tam giác vuông

– Tam giác ABC vuông tại B, từ B vẽ đường trung tuyến BA, vì BA là đường trung tuyến của góc vuông nên: BA = 1/2 CD=AD = AC.

Vậy tam giác ADB và tam  ABC lần lượt cân tại A.

Trọng tâm của tam giác cân

– Cho tam giác ABC cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A, nên AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao và là đường phân giác cùa tam giác ABC.

Hệ quả:

– Góc BAG bằng góc CAG.

– AG vuông góc với BC.

Trọng tâm của tam giác vuông cân

– Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.

Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên: AB = AC.

=> BP = CN và BN = AN = CP = AP.

Trọng tâm của tam giác đều

– Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

– Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

Cách xác định trọng tâm tam giác

Để xác định được trọng tâm của một tam giác, bạn có thể làm theo 2 cách sau:

Cách thứ nhất

• Vẽ tam giác ABC.
• Xác định trung điểm M của cạnh BC sao cho MB = MC.
• Nối A với M để có đường trung tuyến AM.
• Thực hiện tương tự với các cạnh và đỉnh còn lại, bạn sẽ vẽ được thêm 2 đường trung tuyến nữa của tam giác này.
• Gọi giao điểm của 3 đường trung tuyến là điểm G. Khi đó, điểm G chính là trọng tâm tam giác ABC bạn đã vẽ.

Cách thứ hai

• Vẽ tam giác ABC.
• Xác định trung điểm M của cạnh BC sao cho MC = MB.
• Nối đỉnh A với điểm M ta được đường trung tuyến AM.
• Trên đoạn thẳng AM, lấy một điểm G sao cho: AG = 2/3 AM.
• Theo tính chất trọng tâm, điểm G chính là trọng tâm tam giác ABC bạn vừa vẽ.

Cho bài tập

Bài 1 : Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?

Giải: