Tích phân là gì? Công thức tính tích phân – Tính chất của tích phân

Tích phân là gì? Công thức tính tích phân – Tính chất của tích phân. Ngay sau đây hãy cùng chúng tôi đi tìm hiểu về tích phân trong bài viết sau đây.

Xem ngay:

• Căn bậc ba là gì?
• Đồ thị hàm số y= ax + b (a ≠ 0)
• Công thức tính chu vi hình vuông và diện tích hình vuông

Tích phân là gì?

– Tích phân là một khái niệm được sử dụng rất phổ biến trong toán học cùng với nghịch đảo của nó là vi phân có vai trò quan trọng là hai phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích.

– Khái niệm tích phân được tách nghĩa theo tiếng Hán thì tích có nghĩa là tích cóp còn phân có nghĩa là từng phần nhỏ. Như vậy qua tách nghĩa ta có thể hiểu được tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Còn theo định nghĩa của toán học thì định nghĩa tích phân sẽ là như sau:

– Cho hàm f(x) liên tục trên một khoảng xác định, kí hiệu là K và có a,b là hai số thực bất kì thuộc khoảng K đó. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số của F(b)-F(a) sẽ được gọi là tích phân của f(x) trong khoảng từ a đến b. Từ đó, ta có ký hiệu như sau:

Trong đó:

• ∫: là tích phân
• f(x)dx: là biểu thức dưới dấu tích phân
• dx: biến của tích phân. Trong Topo của toán học thì việc biểu diễn chính xác là dx sẽ được tách ra khỏi hàm được tích phân bằng một dấu cách.

– Bên cạnh đó, ta có thể thay đổi biểu thức f(x)dx bằng biểu thức f(t)dt hoặc bất kỳ một đối số nào như f(y)dy, f(u)du dưới dấu tích phân cũng đều được.

– Ký hiệu này được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy nó được bao quanh bởi đồ thị của hàm f, trục hoành và các đường thẳng lần lượt là x =a, x = b sao cho các vùng trên trục hoành được tính vào tổng diện tích còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng của diện tích.

– Khi gọi a là cận dưới của tích phân thì b sẽ là cận trên của tích phân.

– Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong a và b. Khi đó tích phân bất định sẽ được viết như sau:

f(x)dx = F(x) + C

Theo đó, nhiều định nghĩa của tích phân sẽ được xây dựng dựa vào lý thuyết độ đo.

Tính chất của tích phân xác định

Danh sách các tích phân cơ bản

– Còn gọi là danh sách của các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.

Biến đổi về Tổng – Hiệu các tích phân cơ bản

– Với phương pháp này, chúng ta sẽ sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hạng tử.

Phương pháp giải

– Sử dụng 3 tính chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản:

Bảng nguyên hàm cơ bản

– Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c là những số thuộc K. Khi đó, tính chất và công thức tính phân như sau:

Các phương pháp tính tích phân

– Hiện nay có rất nhiều phương pháp khác nhau để giải các bài toán tích phân dó đó bạn đọc có thể tham khảo và áp dụng. Cụ thể:

Phương pháp phân tích

– Với phương pháp này bạn có thể sử dụng các đồng nhất các công thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân trở thành tổng của các hạng tử.

Phương pháp biến đổi số

– Phương pháp này có 2 dạng và mỗi dạng là một cách tính khác nhau. Cụ thể:

Phương pháp vi phân

Phương pháp tính của tích phân từng phần